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王小二的博客

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短时傅立叶变换、小波变换  

2012-09-12 20:01:59|  分类: 专业相关 |  标签: |举报 |字号 订阅

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短时傅立叶变换
    短时傅立叶变换是最常用的一种时频分析方法,它通过时间窗内的一段信号来表示某一时刻的信号特征。窗越宽,时间分辨率越差;反之会降低频率分辨率,也就是说它不能同时兼顾时间和频率分辨率[1]。
    离散信号x(n)的短时傅立叶变换定义为Xn(Ejω)=∑∞m=-∞x(m)w(n-m)e-jωm(1)其中ω(n)是实数窗序列,称之为分析窗或分析滤波器,Xn(ejω)既是ω的函数,也是n的函数,所以对短时傅立叶变换也就存在两方面的解释。序列:fn0(m)=x(m)w(n0-m)(2)称为x(n)在时刻n0的短时段,一方面,在n=n0的情况下,Xn0(ejω)是将窗函数中心移到n0处截取信号x(n)所得到的序列fn(m)的标准傅立叶变换。另一方面,从滤波器的角度,在ω=ω0前提下,Xn(ejω0)是时间n的函数。如果将ω(n)看作是某个窄带低通滤波器的冲击相应,滤波器的输入为x(n)e-jω0n,那么Xn(ejω0)就是该滤波器的输出。
    类似的还可以定义离散的短时傅立叶变换,令ω=2πk/N0≤k≤N-1,则有Xn(k)=Xn(e2πkj/N)=∑∞m=-∞x(m)w(n-m)e-2πkj/N(3)由功率谱函数的定义,短时功率谱和短时傅立叶变换有如下关系Sn(ejw)=Xn(ejw)Xn(ejw)*=Xn(ejw)2(4)它是x(n)的短时自相关函数的傅立叶变换Sn(ejw)=∑∞m=-∞Rn(k)ejwk(5)其中Rn(k)是x(n)的短时自相关函数。
 
1、小波分析方面:比起传统的傅立叶分析只能在一个域空间里面进行分析,小波变换能够同时在时域和频域进行表现。Parseval定理奠定了小波分析距离不变性的特点,从而能够很好的在两个域中往复变换。傅立叶变换只能处理时不变的信号,对于时变信号虽然短时傅立叶变换(Short Time Fourier Transform)能够部分解决问题,但是STFT不能在变换到频域后再变换回到时域。而小波分析却能够很好的应对这种情况,对于时变信号可以非常方便的进行时域和频域的往返变换。这种特性为小波分析奠定了非常良好的基础。还有一个事实就是小波分析能够解决傅立叶变换所能够解决的问题。可以说小波变换是傅立叶变换的超级。

小波分析的去噪,feature selection,回归等能力都是建立在小波分析的一种特点上:小波变换后各个正交基上的系数体现了各自的重要性,去除系数靠近零的正交基然后再变回到时域不会太大的影响时域中的距离特性。小波的这种能力使得其在Data Mining领域大显身手。

2。Data Mining方面:一般的Data Mining过程可以划分为以下四部:数据管理,数据预处理,数据挖掘核心算法,数据后处理。根据自己的经验来看,这个划分很有道理。其中的数据管理涉及到很多的数据访问、数据存储技术。有人将Wavelet用于图像数据的Indexing,那么能否用来实现文本数据的Indexing for search engine呢。我想应该是可能的,这个方面需要进行相关的试验来进行证明。

3。Wavelet for DM: 小波分析能够用于DM的两条原因是:1.小波能够提供数据表示的简洁方式,从而使得挖掘过程更加的有效的精确。2.可以嵌入到很多的既有数据挖掘算法中去,小波神经网络和小波隐马尔可夫过程就是两个很好的例子。

4。在计算机领域中使用最多的小波还是最简单的Haar小波。它能好好的用于离散信号的处理。其它的小波都是连续信号方面的处理。小波变换用于神经网络的两个方面是激活函数采用小波函数以及预处理数据时采用的时间序列数据特征挖掘。小波变换在聚类方面主要的方面是小波聚类(WaveCluster)方法,据说这种方法比常见的方法要快而且效果要好。相比于神经网络和小波的结合,分类方面中提到的小波方法多是一些以小波为主体的方法。小波变换中的母波的存在使得小波变换能够用于分型理论和技术的研究中。

5。应用于文本处理。小波分析能够得到文本流中的能量函数,这种东西对于文本篇章脉络的处理存在很大的应用前景。

Graps, Amara. "An Introduction to Wavelets." IEEE Comput. Sci. Eng. 2. 2 (1995): 50-61.

Miller, Nancy E., et al. . "Topic Islands - a Wavelet-Based Text Visualization System." IEEE
Visualization '98. Eds. David Ebert, Hans Hagen and Holly Rushmeier, 1998. 189-96.

Tao Li, et al. . "A Survey on Wavelet Applications in Data Mining." SIGKDD Explorations 4. 2 (2002): 49-68.

Bill_Lang's Study & Life )

   转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_48a242d601000a3o.html
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